Toán học và Nghệ thuật khăng khít thế ư?

LTS: Nhân đọc cuốn sách: “Toán học và Nghệ thuật” của Giáo sư Nguyễn Tiến Dũng, thầy Cao Huy Hóa (một giáo viên dạy Toán, đã nghỉ hưu tại Huế) có bài viết cảm nhận về quyển sách.

Tác giả bộc lộ mong muốn cuốn sách “Toán học và Nghệ thuật” sẽ được phổ biến trong các trường Đại học và Trung học càng nhiều càng tốt, để học sinh, sinh viên được tiếp thêm động lực được nâng cao tri thức khoa học và nghệ thuật chân chính.

Tòa soạn trân trọng gửi đến độc giả! 

Hồi các thập niên 50, 60 của thế kỷ trước, rất nhiều học sinh đậu tú tài ban B, đã lựa chọn con đường đi vào ngành Toán để nhắm tới văn bằng cử nhân Toán.

Đó là con đường thầm lặng, chông gai, đi vào thế giới của số, hình, tập hợp, lôgic, cấu trúc, vi phân, tích phân…

Tội nghiệp, nhiều anh trèo lên trượt xuống năm này qua năm khác.

Nhiều anh phải đứt gánh giữa đường do cũng vì Toán.

Thế nhưng vì sao nhiều người lụy vì cái môn mà người đời và nhất là phái nữ cho là “khô khan” đó?

Có lẽ chỉ vì cái hay, cái “siêu”, cái tư duy chặt chẽ, cấu trúc mạch lạc, không thừa không thiếu, những định lý đẹp, đề toán hay, những hình lý tưởng, cách giải hay, cái sáng tạo không ngờ… mà người ham mê Toán mới cảm và say, nhất là niềm sảng khoái khi giải được bài toán mà mình bí lâu nay.

Tất cả e phải quy về một chữ đẹp, có thế mới quyến rũ con người.

Đẹp chính là nghệ thuật.

Vậy có chăng mối liên kết giữa Toán học và nghệ thuật?

Phải chăng những sáng tạo trong Toán học của những bậc kỳ tài về Toán đều mang dáng dấp nghệ thuật, dầu cho người sáng tạo không hề nhắm tới?

Phải chăng nhiều công trình, di sản danh tiếng, nhiều tác phẩm để đời có chứa một ẩn ý Toán học nào đó?

Bìa sách "Toán học và Nghệ thuật" của Giáo sư Nguyễn Tiến Dũng.

Thật tình những câu hỏi trên được tôi nghĩ ra bất ngờ khi cầm trên tay cuốn sách: “Toán học và Nghệ thuật” của Tiến sĩ Nguyễn Tiến Dũng [1] Giáo sư đại học Toulouse (Pháp) do Tủ sách Sputnik chủ trương, Nhà xuất bản Văn Học, 2016.

Và rồi tôi càng đọc thì càng mê, và những câu hỏi nói trên đã được giải đáp, tuy có thể chưa trọn vẹn – cũng phải thôi, về sau chắc nhiều người sẽ thêm nhiều lập luận và minh họa cho tương quan giữa hai lĩnh vực này.

Nói đến tương quan giữa toán học và nghệ thuật – hai lĩnh vực tưởng là chẳng bà con gì, là nói đến cái chung, cái đẹp. Nhưng đẹp có nội hàm gì mới kết nối chúng với nhau?

Tác giả đã nêu các nguyên lý:

Lặp đi lặp lại, biểu hiện trên nhạc là nhịp điệu, bên Toán là sự đối xứng (dĩ nhiên không phải đối xứng như qua gương mà đối xứng linh động với nhiều phép biến đổi khác).

Hài hòa (harmony), hai khái niệm ăn nhập vào nhau, khớp với nhau, không bị chệch.

Không đơn điệu. Nếu cái gì cũng một điệu thì quá chán, nói gì đến nghệ thuật và vẻ đẹp toán học.

Quen thuộc với con người, hay đúng hơn: Vừa lạ vừa quen.

Lấy gì trong thực tế về cái đẹp theo đúng 4 nguyên lý đó?

Có gì khó đâu, dễ quá mà! Thiên nhiên! Tác giả dẫn chứng với hình ảnh quá đẹp, nghệ thuật và toán học hội tụ.

Con bướm, tổ ong, trái đào, bông tuyết, hạt vật chất… Còn chính bản thân Toán học, theo triết gia Plato, “Đấng Tạo Hóa là nhà hình học”.

Những kiến trúc, công trình có giá trị nghệ thuật cao đều phải cân đối, hài hòa, thể hiện ở các chiều.

Ngay cả tờ giấy, tuy đơn giản nhưng là thành tựu văn hóa lớn.

Tờ giấy A4 (210 x 297 mm), ta nhìn thấy đẹp vì tỷ lệ cân đối, hài hòa, và bạn có biết không, tỷ số giữa chiều dài và chiều rộng của tờ A4 rất gần bằng căn bậc hai của số 2, mà số này chính là tỷ lệ giữa đường chéo và cạnh của hình vuông, nói lên một sự cân xứng rất đẹp, rất quen mắt.

Không chỉ mẩu A4 mà các mẫu A0, A1, A2, A3, A4, A5… đều đồng dạng với nhau, cứ chia đôi mỗi mẫu theo chiều dài thì được mẫu sau, và như thế, trên một tờ giấy A0 (diện tích bằng 1 mét vuông, 841 x 1189 mm), ta có thể phân chia các mẫu A1, A2, A3, A4, A5…

Điều này rất tiện dụng trong việc in ấn.

Chuyện tỷ lệ lại càng quan trọng đối với các công trình kiến trúc, con số và công trình theo nhau như bóng với hình.

Có một tỷ lệ rất lý tưởng, gần như là được sùng tín, đó là tỷ lệ vàng. 

Có thể hình dung tỷ lệ này như sau:

Bạn vẽ một hình chữ nhật, rồi vẽ hình vuông có cạnh bằng chiều rộng trong hình chữ nhật đó, làm sao cho hình chữ nhật còn lại đồng dạng với hình chữ nhật lớn; nếu được như thế, thì tỷ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là tỷ lệ vàng.

Rất dễ tính ra tỷ lệ vàng xấp xỉ 1,618.

Tất nhiên tỷ lệ này được thể hiện ở nhiều hình (như trong sách), và ngoài hình chữ nhật vàng, còn có tam giác vàng, hình thoi vàng, hình xoắn ốc vàng… không chỉ hình phẳng mà còn hình khối.

Một thể hiện độc đáo của tỉ lệ vàng ở nơi một dãy số mà ai học toán ở đại học đều biết, dãy số Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

(ngoài hai số đầu 0, 1, các số tiếp theo có được bằng cách cộng hai số trước đó, ví dụ hai số 8, 13 thì tiếp theo là 8 + 13 = 21)

Nếu kéo dài dãy số này thì tỉ lệ giữa hai số liên tiếp (số sau chia cho số trước) cứ dần dần đi về tỉ lệ vàng.

Ví dụ, 13/8 = 1,625   21/13 = 1,615     34/21 = 1,619     55/34 = 1,618    89/55 = 1,618… (xin bỏ qua phần chứng minh)

Các quy luật vật lý của tự nhiên, đặc biệt là vấn đề tối ưu hóa và quy luật “sinh ra cái phức tạp từ việc lặp đi lặp lại nguyên tắc đơn giản” khiến cho các số Fibonacci thường xuyên xuất hiện trong tự nhiên.

Điều này được nhà toán học Ian Stewart giải thích khá nhiều trong quyển sách Nature’s Numbers (“Các con số của tự nhiên”, 1955) và những sách phổ biến kiến thức khác của ông.

“Ví dụ như phần lớn các loại hoa có số cánh hoa là một số Fibonacci (trừ những bông hoa đột biến có thêm cánh hoặc bị mất bớt cánh).

Những thứ có sự sắp xếp thành vòng xoắn, như là mắt dứa, mắt quả thông, hay cánh hoa hướng dương, thì thường có thể phân biệt trên đó hai hướng đường vòng xoắn: một hướng xoắn sang trái, và một hướng sang phải.

Số đường xoắn sang trái và số đường xoắn sang phải sẽ là hai số Fibonacci sát nhau. Tỷ lệ giữa hai hướng sẽ là một tỉ lệ Fibonacci, gần bằng tỷ lệ vàng”.

Thêm một phát hiện nữa: tỷ lệ của kim tự tháp nổi tiếng của Ai Cập.

Tháp lớn nhất có dạng hình tháp cân, đáy là hình vuông có cạnh dài 230,4 mét, và có chiều cao 146,5 mét.

Tỷ lệ giữa chiều cao và một nửa độ dài của đáy (là tang của góc mỗi mặt bên, nhờ đó có thể hình dung độ nghiêng của mỗi mặt bên) xấp xỉ bằng 1,272, tức xấp xỉ bằng căn bậc hai của tỷ lệ vàng.

Phải chăng những nhà thông thái Ai Cập xưa 4, 5 ngàn năm trước, đã có bí ẩn về Toán học khi xây công trình này?

Cái đẹp trong thiên nhiên, trong kiến trúc cũng như cái đẹp trong Toán học thể hiện ở tính đối xứng.

Tính đối xứng có sẵn từ tạo hóa thể hiện trên con người, động vật, cây cỏ.

Nhỏ nhoi như lá, đều có tính đối xứng và rất đẹp, nhưng trong nghệ thuật, phép đối xứng phải kết hợp với các phép bảo toàn khoảng cách: phép tịnh tiến, phép quay, phép lượn, mới đa điệu mà cân đối, hoặc có nhiều loại đối xứng trên cùng một công trình.

Tác giả dẫn chứng tháp Phước Duyên, chùa Thiên Mụ (Huế) có đối xứng theo hình bát giác (đáy như một bát giác đều), và kiến trúc chung quanh có đối xứng gương.

Còn tháp Eiffel đáy hình vuông, nên nhóm đối xứng giống nhóm đối xứng của hình vuông.

Tác giả còn dẫn chứng các kiểu trang trí đường viền như theo các phép biến đổi hình học: một mẫu trang trí trên một mái nhà ở Toulouse (Pháp), gạch đá hoa trang trí theo một kiểu phương Đông, trang trí trên một hàng rào đá ở Ấn Độ thế kỷ 16, 17, một góc ban công ở Paris, và rất nhiều dẫn chứng; nhưng đặc sắc nhất là Quảng trường Rossio ở Lisbon (Bồ Đào Nha) với nền hình sóng tuần hoàn, cũng như các quãng trường khác với kiểu lát gạch rất mỹ thuật của Lisbon.

Tác giả dẫn dắt người đọc đến các khối đa diện, các hình ngôi sao với những hình thể thoát thai từ các hình thông thường và đi vào các chiều, cạnh, mặt kết hợp với nhau vô cùng phong phú, và ta làm quen với đa diện gần đều chứ không phải là đều.

Một điều lý thú nữa là tác giả đề cập đến Origami, một trò chơi gập giấy của Nhật. Chỉ bằng cách gập giấy mà không cắt dán, một tờ giấy có thể biến thành các hình, các khối, ngôi sao rất đẹp.

Một lĩnh vực xa xôi, cứ tưởng toán học không mấy khi đụng tới, đó là âm nhạc, thì ra trong nhạc có toán, trong nhà toán học có nhà thơ, nhà văn, và trong đầu những nhạc sĩ đại tài có những cấu trúc âm nhạc.

Ai ai cũng biết Pythagoras (570 – 495 trước công nguyên) với định lý: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

“Pythagoras đã nghiên cứu quan hệ giữa các nốt nhạc với hình dáng và độ dài của các nhạc cụ khác nhau, bậc thang của các nốt nhạc, và sự hòa âm.

Ông cũng đã sáng chế ra chiếc đàn một dây (monochord) có thể dùng như một dụng cụ để đo nốt nhạc (sonometer). Chiếc đàn bầu của Việt Nam cũng là loại đàn một dây, với nguyên tắc hoạt động tương tự như đàn một dây của Pythagoras”.

Nhạc lý căn bản không thể tách ra khỏi kiến thức về âm học (cũng là Toán học) như sóng âm, tần số, hợp âm, cộng hưởng âm thanh; thế nào là các âm thuận tai (euphony), âm nghịch tai (cacophony), hợp âm 3 nốt, ví dụ như Do-Mi-Sol …

Nhà nghiên cứu Toán học Nguyễn Tiến Dũng sao lại nói đến Ludwig Van Beethoven (1770 – 1820)?

Đó là vì, thiên tài âm nhạc này bị mất dần thính giác từ năm 1798, thế mà từ khi bị điếc, ông vẫn sáng tác nhiều bản nhạc, thuộc loại nổi tiếng nhất.

Ông không nghe, nhưng hình dung được bản nhạc trong đầu. “Đó là bởi vì, như người ta nói, các bản nhạc của ông (cũng như của các thiên tài âm nhạc khác) có cấu trúc toán học chặt chẽ, và ông cảm nhận được cấu trúc đó một cách trực giác”.

Nhạc sĩ vĩ đại Johannes Sebastian Bach (1685 – 1750) cũng được tác giả nói đến, như là người sáng tác thể nhạc fugue, với tính chất fractal: các phần trông tương tự nhau nhưng không “bằng nhau”, mà có sự biến dạng rõ rệt.

Ví dụ như lật ngược lại (nốt cao lên biến thành nốt thấp xuống), kéo dài ra (đánh chậm đi)…

Càng về cuối cuốn sách thì tác giả càng đi về những nội dung và xu hướng hiện đại của Toán học, tất nhiên là càng bí hiểm, nhưng càng cuốn hút bởi những tác phẩm nghệ thuật ăn khớp với Toán học hiện đại.

Các nhà Toán học ngày nay là những nghệ sĩ tự do, mênh mông sáng tạo, với những ý tưởng như không gian nhiều chiều (người bình thường sống và cảm nhận không gian 3 chiều), như tô-pô, lý thuyết biến dạng, lượng tử hóa, lý thuyết tối ưu, lý thuyết về trật tự và hỗn loạn… lại thêm khoa học về máy tính đã đem lại nghệ thuật trên máy tính từ những ý tưởng thuật Toán.

Sáng tạo của Toán học đã song hành với sáng tạo trong nghệ thuật.

Nếu nhà Toán học có thế giới nhiều chiều thì Pablo Picasso (1881 – 1973) có tranh lập thể, ví dụ như bức tranh “Violin và chùm nho”, các hình khối bị chặt khúc, sắp lên nhau, và cái nhìn của người thưởng ngoạn không còn là ba chiều nữa.

Như để gắn bó với lý thuyết biến dạng, bức tranh “Trí nhớ trường tồn” (The persistence of memory) của Salvador Dalí gây ấn tượng đặc biệt cho người xem: mặt đồng hồ cong lép, méo mó chảy, cái thì trên tay héo hon, cái thì vắt vẻo trên cành khô, trên mép bàn.

“Thời gian chảy ra rồi mà trí nhớ vẫn còn lại”.

Một chương gần cuối mà tác giả có lẽ viết say sưa: Toán học và thơ văn, tất nhiên dễ hiểu và lãng mạn nhất. Sao lại có nhiều nhà Toán học làm thơ, làm văn, mà lại hay?

Tác giả đã lý giải khá nhiều, tôi không dẫn ra đây trừ một chút vắn tắt: nghệ thuật hay Toán học là sáng tạo, là cởi mở, là trí tưởng tượng phong phú và sâu sắc, là cô đọng… là đẹp!

Tôi ghi nhận thêm: Nhờ sách này mà tôi được biết thêm, tại xứ Ba Tư huyền bí có một nhân vật vĩ đại là Omar Khayyam (1048 – 1131). Ông là nhà thơ lớn, nhà Toán học, nhà thiên văn xuất sắc

Mong sao cuốn sách “Toán học và Nghệ thuật” của Giáo sư Nguyễn Tiến Dũng được phổ biến trong trường, Đại học và Trung học, càng nhiều càng tốt, để học sinh, sinh viên củng cố niềm vui và nâng cao tri thức khoa học và nghệ thuật chân chính.

Không chỉ bổ ích cho trò, mà giáo viên đọc sách càng thấy nghề nghiệp của mình càng cao quý và giàu ý nghĩa hơn!

Chú thích:

[1] Giáo sư Nguyễn Tiến Dũng sinh năm 1970 tại Hà Nội, đoạt huy chương vàng Olympiad Toán quốc tế IMO năm 1985, trở thành giáo sư  toán học tại đại học Toulouse năm 2002, và được phong giáo sư  ngoại hạng ở Pháp năm 2015.